部門概要
本研究部門では、量子力学，物性学，分子生物学，及び，粒界・複合材料力学等の（広い意味の）自然科学の包括的な幾何学的理論を構築し、自然科学の各分野へフィードバックすることを目指します。
幾何学は、微分幾何学，位相幾何学(=トポロジー)，及び，代数幾何学の３つの分野に分けられます。微分幾何学は、元々は、ある幾何構造gを備えた多様体M（連続性と微分可能性を扱える空間）内の図形の性質で、gを不変に保つMの変換達によって不変なものを調べる学問（リーマン幾何学，ローレンツ幾何学，シンプレクティック幾何学等)でした。ここで、gを不変に保つMの変換の全体は、リー群（適切な群構造備えた多様体）になることを注意しておきます。その後、物理学におけるゲージ理論の発展と共に、(M,g)上の主バンドルやそれに同伴するベクトルバンドルの接続理論へと発展しました。例えば、重力場と電磁場を統一した相対論的理論は、4次元ローレンツ多様体（ローレンツ計量gを備えた4次元多様体）とよばれる空間上の1次ユニタリ群U(1)を構造群にもつ主バンドル，及び，その随伴ベクトルバンドルの接続理論を用いて、研究されます。このように、微分幾何学は、リー群作用の理論やゲージ理論等と密接な関わりをもち、それゆえ、量子力学や物性学へ応用されます。また、体積汎関数やエネルギー汎関数の(-1)倍の勾配流である平均曲率流や調和流を研究する幾何解析学(これは微分幾何学と解析学の双方を用いて研究する学問)は，粒界をはじめとする界面の研究や結晶構造等の物性学の研究と密接な関わりをもちます。この研究は、分子生物学における環状のDNA・RNAの微妙な形状（これらの螺旋構造の微妙な曲がり具合）の研究にも役に立ちます。さらに、粒界の強度の研究を複合材料力学へ応用することを目指します。
一方，位相幾何学は、位相空間とよばれる連続性のみを扱える空間、及び、その空間内の図形の性質で連続的な変形に関して不変なものを調べる柔らかい幾何学であり、その研究には、ホモトピー群やホモロジー群とよばれる代数的な位相不変量も用いられます。その一分野として、結び目理論があります。結び目理論とは，3次元ユークリッド空間や3次元球面等の3次元位相多様体(局所ユークリッド的な位相空間)X内に連続的に埋め込まれた2つの円(正確には円周)がXの同相写像(Xからそれ自身への連続性を保つ1対1対応のこと)で写り合うことができるかどうか等を調べる理論です。この理論は、分子生物学におけるDNA・RNA（閉じた螺旋構造をもつもの）の大域的な研究と密接な関わりをもち、これらの研究を数学的に行うために重要な理論として位置づけられています。結び目理論，さらに写像類群論は，ゲージ理論を用いても研究され(このような研究は，位相的場の理論とよばれます)、ゲージ理論とも密接な関わりをもちます。また、代数幾何学は、アフィン空間や射影空間上のいくつかの多項式の共通零点集合のなす図形の性質を調べる幾何学であり、この研究は、主バンドルのある種の接続全体のなす空間のモジュライ空間の研究等に用いられ、それゆえ、主バンドルの接続理論を用いて数学的に研究されるゲージ理論の研究と密接な関わりをもちます。
以上のように、幾何学の各分野は、量子力学，物性学，分子生物学，及び，粒界・複合材料力学等の自然科学の研究と密接な関わりをもちます。具体的に、以下の研究を行います。
I．幾何解析学の視点からの物性の研究
この研究グループでは、以下のような研究を行います。以下、クラスターとは、いくつかの原子が金属結合、共有結合、イオン結合等の結合力によって結びついてできているものとする．クラスターを，以下のように重み付き色付き有向グラフとして捉えられることにします。クラスターを構成する原子の原子核達を頂点の集まり(これをV(G)と表す)とし、2つの頂点v,wを原子核としてもつ原子間に何かしらの結合力が働いているとき、それらの頂点を辺(これを|vw|と表す)で結び、その結合力の強さに比例して、その辺e:=|vw|に重み(これをm(e)と表す)を与えると共に、向きと色を与える。向きと色について説明します。辺の全体をE(G)と表し、有向辺の全体を$E_o(G)$と表す。組G=(V(G),E(G))は、数学のグラフ理論においてグラフとよばれるものになります。辺e=|vw|にvからwに向かう向きを与えたものを|\vec{vw}|と表し，辺e=|vw|に$w$から$v$に向かう向きを与えたものを$|\vec{wv}|$と表す。ここで、|\vec{vw}|は、vwの上に→を付けたものを表す。グラフGの各辺e∊E(G)に対し、向き（これをO(e)と表す）を一つずつ与えたものを有向グラフという。正確には、対応O
(:e → O(e))をGの向きといい、組(G,O)を有向グラフという。次に、色について説明します。各頂点vに、vを原子核とする原子の構造に付随して量C(v)を対応させます。この量を色とよぶことにします。各頂点v(∊V(G))に、色C(v)を対応させる対応C
(:v → C(v))をGの色とよび、組(G,C)を，色付きグラフとよぶことにします。このように、クラスターは、重み付き色付き有向グラフ(G,m,C,O)として捉えることにします。
重み付き色付き有向グラフ(G,m,C,O)に対し、辺e(∊E(G))達の和集合$∪_{e∊E(G)}e$を|G|と表すことにします。まだ、|G|は3次元ユークリッド空間$R^3$の中には入っていません。|G|が、3次元ユークリッド空間$R^3$の中で、どのような形状（＝姿）で存在するはずであるか、つまり、考えているクラスターが$R^3$内でどのような形状（＝姿）で実在し、それがどのような対称性をもつかを調べることは大変重要です。このクラスターの形状は、幾何学的変分学（＝幾何解析学）の見地から、以下のように調べるべきであると考えます。まず、|G|から$R^3$への各辺の上で滑らかな写像（以下、このような写像をPS写像とよびます。）の全体をMap_{PS}(|G|,R^3)と表し、Gの図形的構造、Gの重さm，及び、Gの色Cに依存して適切に定めたMap_{PS}(|G|,R^3)上で定義されるエネルギー汎関数E_{m,C}をとり、その(-1)倍の汎関数-E_{m,C}の臨界点を与えるPS写像fを求めます。このとき、f(|G|)が、R^3内で安定した状態で存在する形状、つまり、考えているクラスターのR^3内での姿であると解釈します。ここで、汎関数-E_{m,C}の臨界点を与えるPS写像は、一つとは限りませんので、あくまでも、考えているクラスターのR^3内での姿の候補が、リストアップされるだけであることを注意しおきます。
また、R^3上の（色Cから定める）あるファイバーバンドルπ:E → R^3を考え、その全空間E内での|G|の姿、及び、その対称性も以下のような方法で調べたいと考えています。|G|からEへのPS写像の全体をMap_{PS}(|G|,E)と表し、Gの図形的構造とGの重さmに依存して適切に定めたMap_{PS}(|G|,E)上で定義されるエネルギー汎関数E_mをとり、その(-1)倍の汎関数-E_mの臨界点を与えるPS写像fを求めます。このとき、f(|G|)が、E内で安定した状態で存在する形状、つまり、考えているクラスターのE内での姿であると解釈します。
さらに、重み付き色付き有向グラフ（これは、デジタルの空間）の適切な細分を定義し、この細分をとる操作を無限回繰り返していったときに極限として現れるアナログの空間が、どのような接続付きリーマン多様体（あるいは、より一般に、接続を備えた測度付き距離空間）になるか、また、そのR^3やE内での姿を調べたいと考えています。ここで、接続付きリーマン多様体とは、多様体にリーマン計量という内積の場と捩じれをもつアフィン接続を与えたものであり、接続を備えた測度付き距離空間とは、（リーマン多様体を一般化した）距離構造と測度を備えた空間のある種の接続を与えたもののことです。接続とは、大雑把に述べると、その空間上の各曲線に沿う平行移動（これは、その曲線の視点におけるその空間の接空間から終点における接空間への線形同型写像）を与えるようなもののことである。
液体を急激に冷却して固体にするとき、はじめに、多数の微小な結晶粒が発生し、その後、各結晶粒が成長し、各結晶粒達が隙間なく貼り合わさった状態の物質が生成されます。これが多結晶体（不安定な状態）であり、結晶粒同士が貼り合わさった面がその多結晶体の粒界ということになります。この過程は、フェイズフィールド(関数)の時間発展方程式にしたがって時間変化し(幾何的測度論)、全体的に固体に変わった瞬間、不安定な多結晶体ができると考えます。この時間発展方程式は、Ginzuburg-Landau型の自由エネルギー汎関数を適切にアレンジしたエネルギー汎関数の(-1)倍の勾配流方程式(Allen-Chan方程式をアレンジしたもの)として定義することにする。
II. 幾何的ゲージ理論の視点からの量子ウォークの研究
この研究グループでは、以下のような研究を行います。微分幾何学におけるゲージ理論は、リーマン多様体(または，ローレンツ多様体)(M,g)上のあるコンパクトリー群Gを構造群にもつ主バンドルπ:P
→ MとGのある表現ρ:G → GL(C^k)に付随するベクトルバンドルπ_ρ:E_{P,ρ} → Mを用いて研究されます。ここで、π:P →
Mが、Gを構造群にもつ主バンドル（略して、Gバンドル）であるとは大雑把に述べると、各点x∊Mに対し、xの原像π^{-1}(x)がGと同相であり、全空間PがGを束ねたようなものになっているもののことであり、ベクトルバンドルとは、全空間がある次元kの数ベクトル空間R^kを束ねたようなものになっているもののことです。
リーマン多様体(M,g)（これはアナログ空間）上の量子状態の時間発展は、その全空間E_{P,ρ}上で適切なハミルトニアンをとり、それを用いて量子状態の空間Γ(E_{P,ρ})（E_{P,ρ}の切断全体のなす空間)からそれ自身へのエルミート作用素を用いて定義したシュレディンガー方程式（または、ディラック方程式）の解として与えられます。一方、重み付き色付き有向グラフ(G,m,C,O)（これはデジタル空間）上の量子状態の時間発展は、シュレディンガー方程式（または、ディラック方程式）を離散化した方程式の解として与えられます。シュレディンガー方程式を離散化した方程式は、時間連続空間離散発展方程式として与えられ、ディラック方程式を離散化した方程式は、時間離散空間離散発展方程式として与えられます。これらの解である量子状態の時間発展は、量子ウォークとよばれます。この研究グループでは、重みmと色Cを用いて、離散化されたシュレディンガー方程式と離散化されたディラック方程式を適切に定義し、その解として定まる量子ウォークを研究したいと考えています。
III. 結び目理論・場の量子論・幾何学的変分学を用いたDNA・RNAの研究
この研究グループでは、環状のDNA・RNAの位相幾何学的な研究、及び、微分幾何学的な研究を行います。環状のDNA・RNAの位相幾何学的な研究とは、環状のDNAを構成する2つのポリデオキシリオボヌクレオチドのつくる絡み目の構造、及び、環状のRNAを構成する一つのポリリボヌクレオチドのつくる結び目の構造の酵素の作用による外在的な位相変化に着目して研究を行うことを意味します。一方、環状のDNA・RNAの微分幾何学的な研究とは，環状のDNAを構成する2つのポリデオキシリオボヌクレオチドのつくる絡み合った2重螺旋構造や環状のRNAを構成する一つのポリリボヌクレオチドのつくる螺旋構造の形状（微妙な曲がり具合）を研究することを意味します。具体的に、以下の研究を行います。
「DNAレベルでの遺伝子組換え」や「DNAからRNAへの転写(及び，編集)」を起こす様々な酵素の働き方に着目し、「DNAレベルでの遺伝子組換え」や「DNAからRNAへの転写(及び，編集)」におけるトポロジー変化（(＝位相構造(連続的な繋がり具合)の変化）をコントロールする新規の方法を分子生物学・核酸生命学と位相幾何学双方の視点から研究を行います。
DNAは、酸素O，リンP，水素H，窒素N，メチレン$CH_2$，水酸基OH，及び，酸化物イオン$O^-$からなる高分子であり、重み付き色付き有向グラフとして捉えられる。これを(G,m,C,O)と表します。グラフ$G$の構造とm,Cに依存して適切に定義したエネルギー汎関数E_{m,C}の臨界点fの像f(|G|)が、DNAの安定した形状であると解釈し、DNAの$R^3$における形状（安定した状態）の2重螺旋構造の微妙な曲がり具合等がどうなるかを理論的に調べたいと考えています。
位相不変量を計算するためのゲージ理論(場の量子論)を位相的場の理論といいます。例えば、Chern-Simons理論は、3次元球面S^3内の結び目(または，絡み目)Kのジョーンズ多項式とよばれる結び目不変量J(K)を、S^3上のSU(2)バンドルの接続の空間上で定義されるチャーン・サイモンズ汎関数，及び，Kに沿うそのSU(2)バンドルの接続のホロノミーで決まるウィルソンループという量を用いて記述するという理論であり，代表的な位相的場の理論の一つです。ここで，S^3は2つの3次元ボ－ルB^3をそれらの境界（これらはS^2と同一視される）に沿って貼り合わせたものとみれるので，R^3内の結び目K（これは、B_3内の結び目とみなされる）は、S^3内の結び目とみなすことができることを注意しておきます。
酵素の働きによって、元の環状のDNAを構成する2つのポリデオキシリオボヌクレオチドのつくる絡み合った2重螺旋構造のつくる２つの結び目K_1,K_2からなる絡み目L=K_1∪K_2のジョーンズ多項式J(L)のチャーン・サイモンズ汎関数とK_1,K_2に沿うウィルソンループを用いた記述式の値が変わらなければならないとが示されれば、J(L)が変わらなければならないことが示され、それゆえ、元のDNAを構成する2つのポリデオキシリオボヌクレオチドのつくる絡み合った2重螺旋構造のつくる絡み目Lと，酵素が働いた後のDNAの定める同様な絡み目L'に対し，空間対(S^3,L)と(S^3,L')が位相空間の対として異なることが示されます。このように、位相的場の理論を用いて、酵素の働きによるDNAを構成する2つのポリデオキシリオボヌクレオチドのつくる絡み合った2重螺旋構造2鎖の(外在的)位相構造の変化を理論的に分析することを目指します。
IV. 幾何解析学の視点からの粒界の研究，及び複合材料力学への応用
この研究グループでは、以下のような研究を行います。多結晶材料を形成する複数の結晶粒同士が隣接する界面を粒界といいいます。
第１に、多結晶体の粒界と強度をコントロールする研究(=粒成長を分析する研究)を行います。さらに、この研究を複合材料力学の研研究へ応用したいと考えています。多結晶体ができるまでの過程を，以下のように理論的に捉えることにします。液体を急激に冷却して固体にするとき、はじめに、多数の微小な結晶粒が発生し、その後、各結晶粒が成長し、各結晶粒達が隙間なく貼り合わさった状態の物質が生成されます。これが多結晶体（不安定な状態）であり、結晶粒同士が貼り合わさった面がその多結晶体の粒界ということになります。この過程は、フェイズフィールド(関数)の時間発展方程式にしたがって時間変化し(幾何的測度論)、全体的に固体に変わった瞬間、不安定な多結晶体ができると考えます。この時間発展方程式は、Ginzuburg-Landau型の自由エネルギー汎関数を適切にアレンジしたエネルギー汎関数の(-1)倍の勾配流方程式(Allen-Chan方程式をアレンジしたもの)として定義することにする。次に、上述の不安定な多結晶体から安定した多結晶体に至るまでの過程を理論的に次のように捉え、研究することにします。不安定な多結晶体の各結晶粒の状態と結晶粒同士が界面の一部に沿って貼り合わさっている状態等によって、多結晶体をいくつかの重み付き色付き有向グラフが貼り合わさったものとして捉え、これを簡単のため、Gと表し、GからR^3へのPS写像全体のなす空間をMap_{PS}(|G|,R^3)と表すことにして、Map_{PS}(G,R^3)上で適切にエネルギー汎関数Eを定義し、-Eの臨界点を与えるPS写像fを求めます。このとき、f(|G|)が、R^3内で安定した状態に落ち着いた多結晶体の形状、つまり、R^3内での姿であると判断します。ここで、汎関数-Eの臨界点を与えるPS写像は、一つとは限りませんので、あくまでも、考えている多結晶体のR^3内での姿の候補が、リストアップされるだけであることを注意しおきます。さらに、安定した状態の多結晶体の強度を分析する方法を開拓し、複合材料力学の研究へ応用することを試みます。
第２に、多結晶体のアナログモデル(連続極限)の研究を行います。多結晶体を構成する各結晶粒（=クラスター）の定める重み付き色付き有向グラフの族を{(G^a,m^a,C^a,O^a)}_{a=1}^kとし，|G^a|⋂|G^b|が空集合でないとき、S^{ab}:=|G^a|⋂|G^b|とおきます．このとき、この多結晶体の粒界Sは、S^{a,b}達の和集合として与えられます。|G^a|
(a=1,..,k}の和集合を|G|と表し、|G|からR^3へのPS写像の全体をMap_{PS}(|G|,R^3)$と表します。その多結晶体の構造に応じて、G^a
(a=1,...,k)達の適切な細分をとります。この各細分をG^a_1 (a=1,...,k)と表します。以下、この細分をとる操作を無限回繰り返すことにより，G^a
(a=1,...,k)の細分列{G^a_i}_{i=1}^∞を定め、さらに、重さ付き色付き有向グラフの列{(G^a_i,m^a_i,C^a_i)}_{i=1}^∞を定めます。この列（あるいはこの部分列）が、ある計量とある接続をもつ3次元（または、2次元）の連続図形(例えば，リーマン計量とアフィン接続をもつ区分的に滑らかな2次元（または、3次元）多様体)
(M_a,g_a,∇^a)に収束するかどうかを調べます。|G^a_i| (a=1,..,k}の和集合を|G_i|、M_a (a=1,...,k)の和集合をMと表し、|G_i|からR^3へのPS写像の全体をMap_{PS}(|G_i|,R^3)$、MからR^3へのPS写像の全体をMap_{PS}(M,R^3)$と表します。{m^a_i}_{a=1}^k,
{C^a_i}_{a=1}^k、|G_i|の粒界S_iの形状、及び、S_i^{ab}に沿うG^aとG^bの接合状況に依存して、Map_{PS}(|G_i|,R^3)上でエネルギー汎関数E_iを定め、その臨界点の列{f_i}_{i=1}^∞で，i
→ ∞のとき、あるf_∞ (∊Map_{PS}(M,R^3))に収束するようなものをみつけます。さらに、f_∞が、g_a,∇^a (a=1,...,k))に依存して、適切に定義されたエネルギー汎関数E_∞:Map_{PS}(M,R^3)
→ Rの臨界点になるかを調べたいと考えています。以上のような方法で、多結晶体のアナログモデル(連続極限)の研究を推進したいと考えています。
部門長 小池直之