大学物理入門A guide for University Physics

ケプラーの法則

ニュートン力学を学ぶ際、その例題としてケプラーの法則がよく取り上げられているようです。ここではこの法則の導出方法について、数式と図を交えて説明します。

第3法則は惑星の公転周期の2乗T²は長径の3乗a³に比例するというものです。公転周期を他の変数で表すことで、この法則を求めてみましょう。

面積速度dSを時間について0から公転周期Tまで定積分すると惑星の描く軌跡によって描かれる楕円の面積が求められることを利用して、公転周期Tを求めます。

長径がa、短径がbの楕円の面積はπabで与えられますから、(22)式より

以上で公転周期がa,b,cを使った形で求められました。この式から短径bを消去することを考えましょう。

長径aと短径b、離心率eの間には次のような式が成り立ちます。

この式を短径bについて整理することで、次式が得られます。

θ=0のときr=a(1-e)、θ=πのときr=a(a+e)より、(19)式から、次式を得ることができます

この2式の差をとることで不定定数Bを消去することができます。