セミナー・講義

アブストラクト非コンパクト型エルミート対称空間 \(M = G/K\) を、\(M\) の接空間に \(K\)-同変に埋め込む一つの方法を、\(K\)-作用の極性を用いて与える。応用として、Harish-Chandra 埋め込みと呼ばれる有界領域への正則埋め込み、および Di Scala–Loi–Roos の構成した標準的シンプレクティックベクトル空間へのシンプレクティック微分同相写像を統一的に再構成し、それらが \(K\)-作用の極性を用いて特徴付けられることを示す。また、この同変埋め込みによって、全測地的複素部分多様体や実形を含む \(M\) 内のある特殊な全測地的部分多様体のクラスが、接空間内の線型部分空間として実現されることを示す。さらにその「双対」として、コンパクト型エルミート対称空間の稠密な開部分集合上からその接空間への正則およびシンプレクティック埋め込みが得られることを見る。本講演の内容は、橋永貴弘氏（北九州工業高等専門学校）との共同研究に基づく。

アブストラクト偏極トーリック多様体はその運動量多面体と1対1対応することはよく知られている。この対応の下で、多様体の一様相対 K 準安定性／相対 K 不安定性という代数幾何学的な条件は、運動量多面体とその上の凸関数によって完全に記述することができる。本講演では、多様体の一様相対 K 準安定性を導く運動量多面体側の十分条件について紹介する。

アブストラクトリッチフローは Hamilton によって1982年に導入された幾何学的流で、与えられた多様体上のリーマン計量をそのリッチ曲率の方向に変形するというものである。Hamilton は、有限の時間 \(T\) が最大存在時間であることと、そのフロー \((M, g(t))\)（\(t \in [0,T)\)）のリーマン曲率テンソルのノルムが \(M \times [0,T)\) 上で有界であることが同値であることを示した。他にも、リッチ曲率のノルムが有界であること（Sesum）や、ある幾何学量の積分で表される量が有界であること（Wang）などが知られている。さらに Di-Matteo は、この Wang の結果を時間と空間の混合ノルムを用いた量に関するものへと拡張した。本講演では、この Di-Matteo の結果の特異な場合、特に次元が4で \((\alpha, \beta) = (p, +\infty)\)（\(p > 2\)）かつ \((+\infty, 1)\) に対応する場合について、拡張した意味でのリッチフローの拡張可能定理についてお話しする。

アブストラクト本講演の内容は國川慶太氏（宇都宮大学）との共同研究に基づく。我々は以前、Perelman の簡約幾何の観点から、優 Ricci 流に沿う熱方程式の解に対する Liouville 定理を示していた。今回、ターゲットの空間を一般化し、調和写像流に対して拡張することに成功したのでそれを紹介する。我々の Liouville 定理では調和写像流に対してPerelman の簡約距離に関する増大条件を課す。ターゲットの空間が非正曲率を持つ場合、その増大条件はシャープである。

アブストラクトリーマン多様体 \(M\) 上の関数で、そのレベルセットが等径葉層構造に含まれるようなものに関して、その関数のグラフが平均曲率流のトランスレーティングソリトンであるための条件についてお話しする。このようなトランスレーティングソリトンは、\(M\) 上の等径関数とある常微分方程式の解となる関数の合成関数のグラフとして与えられることが示せた。さらに、\(M\) が \(n\) 次元球面（\(n \geqq 2\)）である場合、このようなトランスレーティングソリトンがとり得る形状に関して分類を行った。

アブストラクト重力微子を表す Rarita-Schwinger 場と、それを記述するために用いられる Rarita-Schwinger 作用素は物理学において研究されてきた。いわゆるスピン 3/2 版の Dirac 作用素である Rarita-Schwinger 作用素は、近年、数学においても研究が行われている。本講演では、(1) コンパクト対称空間上の Rarita-Schwinger 作用素の固有値（本間泰史氏との共同研究）、(2) nearly Kähler 多様体上の Rarita-Schwinger 場（大野走馬氏との共同研究）について述べる。