小池直之研究室
(Naoyuki Koike Laboratory)
研究分野
微分幾何学・位相幾何学・幾何解析学
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上の写真（2023年5月22日撮影）
外部連携： ORCID KAKEN
小池直之研究室のホームページへようこそ。
小池研究室では、アインシュタインの一般相対性理論とつながりの深い微分幾何学を中心として位相幾何学・幾何解析学を含む幾何学分野全般の内容を研究しています。最初に、微分幾何学では、最近どのような研究が行われているかを説明します。
微分幾何学は、幾何学(微分幾何学，位相幾何学)だけでなく、解析学，代数学，確率論・統計学をはじめとして数学すべての分野と関わりをもっています。また、物理数学とも深い関わりをもっています。
代表として、位相幾何学・解析学との関わりについて説明します。2002年にペレルマンによって
解決された7つのミレニアム問題の1つである3次元ポアンカレ予想(これは位相幾何学(=トポロジー)
の問題)を含むサーストンの幾何化予想が、手術付きリッチ流という幾何解析学の分野の概念を用いて解決されました。手術付きリッチ流とは、与えられたリーマン計量をリッチ流方程式とよばれるある非線形擬放物型偏微分方程式の解として発展させ、有限時間で崩壊が起こる場合は、その寸前で適切な手術を行い、再びリッチ流方程式の解として発展させ、再び有限時間で崩壊が起こる場合は、その寸前で適切な手術を行い、再びリッチ流方程式の解として発展させるという作業を有限回行った後、リッチ流方程式の解として発展させることにより、(有限時間で崩壊せずに)無限時間でgoodなリーマン計量に収束するようなものに辿り着くという一連の作業を意味します。
リッチ流は，私の研究している平均曲率流(これは、ある多様体からより次元の高いリーマン多様体へのはめ込みとよばれる写像を平均曲率流方程式とよばれるある非線形擬放物型偏微分方程式の解として発展させることにより得られるはめ込みの１パラメーター族)と密接な関係があります。なぜならば、リッチ流方程式も平均曲率流方程式も、ベクトルバンドルの切断に関するハミルトンの意味の非線形擬放物型偏微分方程式のクラスに属し，リッチ流と平均曲率流の研究を包括的に扱うことができるからです。手術付きリッチ流の平均曲率流サイドの概念として、手術付き平均曲率流という概念もあり、この流れを用いてある種の超曲面の位相を調べることができます。
リッチ流，平均曲率流以外に代表的な幾何学流としては，Yamabe流，逆平均曲率流，ガウス曲率流等があります。これらの研究は、幾何解析学という分野の研究であり、解析学的手法により幾何学を研究するという研究です。このように、微分幾何学，位相幾何学と解析学は、密接な関わりをもっています。
また、一般に、部分多様体の研究において、位相幾何学におけるモース理論，特異点論，コホモロジー理論(スペクトル系列も登場する)等の概念が、本格的に用いられ、位相幾何学との繋がりも、近年深まっており、現在では、微分幾何学と位相幾何学の分野の区別はなくなってきています。私も、元々は、位相幾何学の分野の葉層構造という概念の研究に興味をもち、大学4年生のゼミでは、葉層構造の研究で著名な先生の研究室に所属し、大学院進学後は、幾何構造をもつ多様体上の葉層構造の研究を行いました。
主に対称空間内の部分多様体論を研究しています。その主な研究方法は以下の通りです。
１． コンパクト型対称空間内の部分多様体の研究
〜対称空間の歪みを解消して得られる無限次元の線形空間内の部分多様体の研究に還元して〜
私たちはコンパクト型対称空間内の部分多様体の研究を、主に、その部分多様体をある無限次元ヒルベルト空間からその対称空間へのリーマンサブマージョン（＝直交射影のようなもの）を通じて無限次元ヒルベルト空間内の部分多様体の研究に還元して行っています。この研究方法はコンパクト型対称空間が歪みがあるのに対し、無限次元ヒルベルト空間が歪みがない、つまり、平坦であり、絶対平行性をもつという面で有効である。
２． 非コンパクト型対称空間内の部分多様体の研究〜複素化およびその複素化された対称空間
の歪みを解消して得られる無限次元の線形空間内の部分多様体の研究に還元して〜
私たちはその部分多様体の研究を、主に、その部分多様体の複素化(これはアンチケーラー対称空間内のアンチケーラー部分多様体として定義されます)をある無限次元アンチケーラー空間からそのアンチケーラー対称空間へのアンチケーラーサブマージョン（＝複素構造を保つ直交射影のようなもの）を通じて無限次元アンチケーラー空間内の部分多様体の研究に還元して行っています。この研究方法は次の２つの面で有効です。
（１） 非コンパクト型対称空間が歪みがあるのに比べ、無限次元アンチケーラー空間が歪みがなく、つまり、平坦であり、絶対平行性をもつという面。
（２） 非コンパクト型対称空間の理想境界の彼方へ消えうせている（その部分多様体の）幾何構造が複素化された空間に現れるという面。
3. 対称空間内の平均曲率流および逆平均曲率流の研究
私たちは、対称空間内の部分多様体を、平均曲率流方程式および逆平均曲率流方程式とよばれる偏微分方程式を満たすように変形して行くとどのように崩壊、あるいは、発散するのかという研究も行っています。また、それらの偏微分方程式を適切に修正して得られる方程式を満たすように変形していくとどのような良い部分多様体に収束するのかという研究も行っています。平均曲率流の研究は、3次元ポアンカレ予想の証明に使われたリッチ流(リーマン計量の変形)の研究と、密接な関係があり、興味深い研究対象です。
4. 手術付き平均曲率流を利用した超曲面のトポロジーの研究
ある種の超曲面に対し、それを初期データとする手術付き平均曲率流を定義し、その超曲面のトポロジーを研究しています。しかし、その超曲面を初期データとする手術付き平均曲率流を定義する作業が非常に難しく、なかなか研究が進んでいないのが現状です。
平均曲率流・逆平均曲率流とは
fを多様体Mからユークリッド空間Eへのはめ込みとする。このとき、その像f(M)はE内の部分多様体を与える。fを発する平均曲率流とは、MからEへのはめ込みの1パラメーター族 ft で、 f0=fであり、fの各点xに対して点 ft(x)が時間tの増加にともなって部分多様体 ft (M)のxにおける平均曲率ベクトル(Ht)x方向にずれていくようなもののことである。また、fを発する逆平均曲率流とは、MからEへのはめ込みの1パラメーター族 ft で、 f0=fであり、fの各点xに対して点 ft(x)が時間tの増加にともなって逆平均曲率ベクトル-(Ht)x/ ((Ht)x・(Ht)x)方向にずれていくようなもののことである。
特に、Mが1次元の場合、ftはE内の正則曲線を表し、Htはftの曲率ベクトルκtntを表す(κt:ftの曲率, nt:ftの主法線ベクトル)。
アインシュタインの一般相対性理論について
一般相対性理論とは、次の3つの原理に基づいて構築された重力場理論です。
（I）光速度不変の原理
無重力の場合、光速度はどの慣性系においても不変であり、重力がある場合は、光速度は
どの局所慣性系においても同じ速さである。ここで、無重力の場合の慣性系とは，外力を
受けていない観測者(これは、平坦な時空上の測地線)を時間軸とする時空のある種の大域
座標系を意味する。重力がある場合の局所慣性系については、下記の(注1)を参照のこと。
（II）一般相対性原理
物理法則は、どの慣性系が観測したデータでも成り立つものでなければならない。
（III）等価原理
ニュートンの万有引力の法則にしたがって定義される重力質量とニュートンの
第２運動法則にしたがって定義される慣性質量は等しくなる。
（注１）局所慣性系とは，次のような座標系を意味します。重力のみの力を受けて自由落下
する観測者は、(重力場がある場合に，曲がった時空として扱われる)平坦でないローレンツ
多様体内の時間的測地線とよばれる曲線として定義され，局所慣性系は、おおよそ、その
時間的測地線γの十分小さな管状近傍上で定義されるある種の局所座標系を意味します。
局所慣性系の構成法を述べておきます。時空Mをその1点pにおいて無限小化してえられる
線形空間(=ベクトル空間)として、接空間T_pMが定義されます。接空間T_pMは、特殊
相対性理論において、無重力の場合の時空として扱われるミンコフスキー空間とみなされ
ます。局所慣性系はγ上の点γ(t)における接空間T_γ(t)MからMへの指数写像とよばれる
写像を利用して構成されます。
一般相対性理論では、時間と空間を切り離して考えるべきではなく、時間(これは1次元)と空間
(3次元)を合わせた4次元時空上で理論が展開されます。この4次元時空は、微分幾何学における
概念である4次元ローレンツ多様体とよばれるものとして定義されます。4次元ローレンツ多様体
とは、いくつかの4次元座標空間(U,Φ=(x,y,z,t))達を貼り合わせて定義される4次元多様体Mと
M上のローレンツ計量gの組(M,g)として定義されます。各座標空間(U,Φ=(x,y,z,t))は観測者と
みなされ、各物理量はM上のテンソル場とよばれる量として定義され、各物理法則はいくつかの
テンソル場間の関係式として与えられます。観測者(U,Φ=(x,y,z,t))が物理量S(これはM上の
テンソル場)を観測したデータとは、テンソル場Sの(U,Φ=(x,y,z,t))に関する成分達S_{i_1...i_k}^{j_1...j_l}を意味します。以下、重要な事実を列記します。
・ローレンツ計量gに対し、そのリッチテンソル場Ricとスカラー曲率Rが定義される。真空の場合、
いわゆるアインシュタインの重力場方程式は、Ric-(R/4)g+Λg=0 (Λ:宇宙定数)で与えられる。
・重力場以外の力を受けずに自由落下する物体の時空(M,g)上での軌道は、(M,g)$上の
速さが負の測地線(時間的測地線)を与える。測地線とは、∇_c'c'=0 (∇:gのレヴィ・チビタ接続)
を満たす曲線であり、左辺の∇_c'c'は、すべての観測者が共有できるcの加速度と解釈されます
ので、∇_c'c'=0は等速運動であることを意味します。
・重力場以外の力を受ける物体の(M,g)上での軌道は、(M,g)上の測地線以外の速さが負の曲線
(時間的曲線)を与える。
・ブラックホールBとは、巨大質量をもつ物体を含む最大領域で光を含めどんな物質も一度
その領域に入るとその領域から抜け出せないようなものである。つまり、Bの時空上での軌跡を
B'とした場合、任意の時間的測地線は一度B'に入るとB'から抜け出せないということになります。
（記載日：2021年2月23日，更新日：2022年3月21日)
・著書１
2022年9月12日に下記の本が出版されました。興味のある方はお読み
ください。
(2023年5月15日に初版第2刷が発行されました。(訂正箇所有))
積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学
- ストークスの定理から変分公式まで - （共立出版）
Vector Analysis & Differential Geometry
Enlightened by Integral Formulas
- From Stokes' Theorem to Variational Formula -
サイトへジャンプ
訂正箇所のファイル ファイル１ ファイル２ ファイル３
・著書２
2021年3月9日に下記の本が出版されました。興味のある方はお読み
ください。
(2022年3月25日に初版第2刷が発行されました。(訂正箇所有))
理論物理に潜む部分多様体幾何
- 一般相対性理論・ゲージ理論との関り - （共立出版）
Submanifold Geometry Hidden in Theoretical Physics
- Connection with General Theory of Relativity and Gauge Theory -
サイトへジャンプ
訂正箇所のファイル ファイル１ ファイル２ ファイル３ ファイル４ ファイル５
ファイル６ ファイル７ ファイル８ ファイル９ ファイル１０
この本は、擬リーマン部分多様体論，リー群作用の軌道幾何，及び，対称空間論に関する
入門書であるとともに、発展的内容も含まれています。また、ゲージ理論と関わりをもつ
無限次元部分多様体についても述べられています。私としては、自信作です。
特に，対称空間論をはじめて学ぶ方には、お勧めです。
1ページ目で、一般相対性理論に関する記述において、誤解を招く記述があったため、
一般相対性理論に興味をもたれている方から、厳しい評価(評価5のうち１)を受けていますが、
数学の研究者の方々からは、高い評価をえています。
(記載日：2021年3月16日、更新日2024年4月9日)
・著書３
2019年4月10日に下記の本が出版されました。興味のある方はお読み
ください。
（2020年5月1日に初版第2刷が発行されました（訂正箇所有））
平均曲率流 - 部分多様体の時間発展 - （共立出版）
Mean curvature flow - Time evolution of submanifolds -
サイトへジャンプ
平均曲率流の動画(お勧めサイト)
・ The mean curvature flow (any closed surface -> convex surface -> microsphere)
・ The Mean curvature flow starting from a random closed curve
・ The Mean curvature flow starting from the Batman symbol closed curve
・ The mean curvature flow starting from a flower closed curve
・ The mean curvature flows starting from a flower closed curve and a circle
・ The mean curvature flow starting from the boundary of a scroll-like domain
・ The mean curvature flow starting (level set method)
・ The backward mean curvature flow starting (level set method)
・ The mean curvature flow starting from a cone
・ The volume-preserving mean curvature flow starting from a petal
・ The volume-preserving mean curvature flow starting from two circles
・ The mean curvature flow starting from dambbel
ポアンカレ予想に関する動画
・ The Poincare conjecure
・在学生の方々へ
（１）2024年度卒業研究について
使用する教科書は、『理論物理に潜む部分多様体幾何』
または、「積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学』
にする予定です。いずれの本をゼミで読むことになる
としても、もう一方の本の内容に関する質問は個別に
受け付けます。いずれの本を読むにしても、2年生で
学んだ曲面論の一般次元版である超曲面論(本質的に
曲面論と同じ)からスタートし，その後、(擬)リーマン
多様体論に入っていきます。微分幾何学を受講してい
ない方も上記のいずれの本でも、ある程度、多様体論
の基礎を独学でき、また、分からないところがあれば、
質問を受け付けますので、ご安心ください。ただし、
希望者が多い場合は、微分幾何学を受講した方を優先
します。
卒研説明会で使用したスライドのファイル
（２）2021年度卒業研究について
使用する教科書は、『平均曲率流』に決定しました。
質問のある方は、メール連絡してください。お答えします。
平均曲率流とはどのようなものであるかを、ユークリッド空間内の曲面を例にとって説明します。一言で述べると、平均曲率流とは、初期データとして選んだユークリッド空間内の曲面S_0を、平均曲率ベクトル場(単位法ベクトル場の平均曲率倍)の方向へ変形していくことによりえられる曲面の族{S_t}_{0≦t<T}のことです。
平均曲率流を用いた興味深い研究方法について一つ紹介します。ある良い性質＊をもつ曲面の存在を示すために、まず、既に存在が保証されているある程度良い性質をもつ曲面をS_0として選びます。次にS_0を発する平均曲率流{S_t}_{0≦t<T}がT=∞まで存在することを示し、さらに、t→∞のときS_tが求めたい良い性質＊をもつ曲面に収束することを示します。その結果、良い性質＊をもつ曲面の存在が示されるという方法です。
このように、平均曲率流(及び、他の類似した曲率流)は、リーマン部分多様体の研究において強力な武器となります。
分野としては、微分幾何学と偏微分方程式論の狭間の分野であり、平均曲率流はポアンカレ予想解決に用いられたリッチ流と密接な関係にあります。
以下も参考にしてください。
７つのミレニアム懸賞問題の一つである3次元ポアンカレ予想が、2002年にペレルマンによって解決されました。その解決に用いられたのがリッチ流方程式とよばれるある種の擬放物型非線形発展方程式の解(この解はリッチ流とよばれるリーマン計量の1パラメーター族)の研究です。このリッチ流方程式の研究は、ペレルマンよりも前にハミルトンにより本格的に行われていました。一方、私の研究している平均曲率流方程式も、リッチ流方程式と同種の擬放物型非線形偏微分方程式であり、この解は平均曲率流とよばれる、ある与えられた多様体Mからある与えられたより次元の高いリーマン多様体(N,g)へのはめ込みの1パラメーター族です。各はめ込みの像は(N,g)内のリーマン部分多様体とよばれる図形を与えており、その1パラメーター族は(N,g)内の図形の1パラメーター族を与えることになります。一つシンプルな例を挙げると、Mが円周で(N,g)が2次元ユークリッド平面の場合、初期図形が楕円の境界線の場合、これを発する平均曲率流は小さくかつまん丸くなりながら1点に崩壊します。平均曲率流の研究を利用して、ある条件を満たす図形の存在性を証明したりすることができます。このテキストの前半部では、リーマン多様体上のベクトルバンンドルおよびそのバンドルの接続理論をベースに調和写像(エネルギー汎関数の臨界点)について学べ、後半部では、放物型調和写像方程式とよばれるある種の放物型非線形偏微分方程式について学ぶことが出来ます。その結果、リッチ流、および、平均曲率流を研究するためのベースをつくることができます。
２）問題のベターな解答法、定理のベターな証明法について
問題のベターな解答法、定理のベターな証明法とは、どのようなものであるか私の意見を書かせていただきます。ある定理において、「長いが突飛な発想を必要としない証明」と「短いが突飛な発想を必要とする証明」があったとして、どちらがベターであるか？ 私としましては、教育的には、前者がベターであると考えております。その証明において背理法が使われているから良くないとか手法的なことはあまり関係ないと思います。背理法的な考えは、普段の生活において無意識に本能で使っているぐらいです。ただし、無駄に背理法を使うことは避けた方がいいと思います。一方、(教育的ということを忘れて)総合的には、２つの証明を比較してどちらの証明が定理の内容の本質を分からせてくれるかということ等比較することにより、どちらの証明がベターであるかどうかを決めるべきであると考えております。
(公開日：2015年10月1日)
（３）研究者になろうと思っている方々へ
これから研究者になろうと思っている方々にアドバイスをします。まずは、論理性をしっかりと身に付け，次に初めて学ことを俊敏に正確に理解する力，さらに未解決の問題等を解決する独創的な力を磨いてほしいと思います。理屈だけでできることはたかが知れています。未解決の問題等を解決するためには、解明したいという情熱が必要です。
(公開日：2018年4月23日)
日本数学会2011年度会（3月）で一般講演（2つ）において使用する予定でありましたＰＤＦファイルをご覧になりたい方は、こことここをクリックしてください。
(更新日：2011年3月29日
・OCAMI研究集会
「Global Analysis and Geometry 2023」
において講演をしました。
日時：10月19日~21日
場所：大阪公立大学
研究集会のサイト
・研究集会
「部分多様体幾何とリー群作用2023」
が開催されました。
（還暦のお祝いのパーティーを行っていただきました。）
日時：2023年11月20日-21日
場所：東京理科大学神楽坂キャンパス森戸記念館
第一フォーラム
本研究集会は以下の助成を受けて開催されます。
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 22K03300 (研究代表者・小池直之)
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 19K03478 (研究代表者・田中真紀子)
研究集会のサイト 還暦のお祝いのパーティーの写真
・早稲田大学 数物系科学拠点
集中講義：Short course on ``Representations on symmetric spaces
(連続講演者：Ernst Heintze, Augsburg University, Germany）
に関連する発展的な内容に関して、講演をしました。
日時：2023年11月28日
場所：早稲田大学西早稲田キャンパス55N号館第１会議室 集中講義のサイト
・研究集会
「結び目理論，幾何学的リー群論，及び，その応用2023」
が開催されました。
日時：2024年3月13日-14日
場所：東京理科大学神楽坂キャンパス森戸記念館
第一フォーラム
研究集会のサイト
・RIMS研究集会
「部分多様体論と幾何解析の新展開」
において講演をしました。
日時：6月27日~29日
場所：京都大学数理解析研究所
RIMS共同研究のサイト
研究集会のサイト
・東京理科大学総合研究院
「幾何学と様々な自然現象の解析懇談会」主催の
ワークショップ「データサイエンスと幾何学の物性への応用」 が開催されました。
日時：2023年3月11日
場所：東京理科大学神楽坂キャンパス2号館221教室
詳細につきましては、下記のサイトをご覧ください。
https://www.rs.tus.ac.jp/kurando.baba/workshop/gavnp2022_ja.html
・研究集会
「部分多様体幾何とリー群作用2022」
日時：2023年3月27日-28日
場所：東京理科大学神楽坂キャンパス森戸記念館
第一フォーラム
本研究集会は以下の助成を受けて開催されました。
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 22K03300 (研究代表者・小池直之)
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 19K03478 (研究代表者・田中真紀子)
研究集会のホームページ
・神楽坂微分幾何学セミナーが開催されました。
(36名の方にご参加してたいただきました。)
開催日時： 5月29日 15:00〜17:10
開催方法： Zoomによるオンライン開催
講演者： 梶ヶ谷 徹 (東京理科大学)
斎藤 俊輔 (東京理科大学)
講演タイトル・講演アブストラクトにつきましては、
下記のサイトをご覧ください。
Kagurazaka-diffgeo-seminar.html (tus.ac.jp)
・神楽坂微分幾何学セミナーが開催されました。
開催日時： 7月24日 15:00〜17:15
開催方法： Zoomによるオンライン開催
講演者：濱中 翔太 (中央大学) 15:00〜16:00
櫻井 陽平 (埼玉大学) 16:15〜17:15
講演タイトル・講演アブストラクトにつきましては、
下記のサイトをご覧ください。
Kagurazaka-diffgeo-seminar.html (tus.ac.jp)
・神楽坂微分幾何学セミナーが開催されました。
開催日時： 8月28日 15:00〜17:15
開催方法： Zoomによるオンライン開催
講演者：藤井 知輝 (東京理科大学) 15:00〜16:00
富久 拓磨 (早稲田大学) 16:15〜17:15
講演タイトル・講演アブストラクトにつきましては、
下記のサイトをご覧ください。
Kagurazaka-diffgeo-seminar.html (tus.ac.jp)
・神楽坂微分幾何学セミナーが開催されました。
開催日時： 10月30日 15:00〜17:15
開催方法： Zoomによるオンライン開催
講演者：高橋 雄也 (名古屋大学) 15:00〜16:00
馬場 蔵人 (東京理科大学) 16:15〜17:15
講演タイトル・講演アブストラクトにつきましては、
下記のサイトをご覧ください。
Kagurazaka-diffgeo-seminar.html (tus.ac.jp)
・東京理科大学総合研究院
「幾何学と様々な自然現象の解析懇談会」主催の
ワークショップ「物性と離散幾何学」 が開催されました。
日時：2022年3月12日 13:00〜17:40
場所：Zoom（オンライン開催）
詳細につきましては、下記のサイトをご覧ください。
https://www.rs.tus.ac.jp/kurando.baba/workshop/gavnp2021_ja.html
・ RIMS Research Project 2021
RIMS Symposium
Differential Geometry and Integrable Systems
The 13th MSJ-SI 2021
Mathematical Society of Japan - Seasonal Institute
におけるInternational Conferenceが開催されました。
Date：March 14 - 19 2022
Place：Osaka City University and Online (Zoom)
詳細につきましては、下記のサイトを御覧ください。
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/2020/MSJ-SI2020_e.html
・研究集会
「部分多様体幾何とリー群作用2021」
日時：2022年3月20日-21日
場所：Zoom（オンライン開催）
本研究集会は以下の助成を受けて開催されました。
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 18K03311 (研究代表者・小池直之)
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 19K03478 (研究代表者・田中真紀子)
研究集会のホームページ
・山口大学で大学院集中講義（遠隔授業）を行いました。
講義名：数理科学特別講義II：平均曲率流
期間：10月26日〜30日
世話人：中内 伸光教授
（山口大学大学院創成科学研究科・理学系学域・数理科学科教授）
・研究集会
「対称空間の部分多様体とその時間発展」
日時：2021年3月5日-6日
場所：大阪市立大学
本研究集会は以下の助成を受けて開催されました。
大阪市立大学数学研究所（文科省共同利用・
共同研究拠点「数学・理論物理の共働・共創による
新たな国際的研究・教育拠点」）
研究集会のホームページ
大阪市立大学数学研究所共同利用・共同研究拠点のホームページ
・ Japan-Taiwan Joint Research on Geometric Evolution Equations and Related Fields
において講演をしました。
日時：2021年3月8-9日
場所：大阪市立大学 & Zoom
International Workshopのホームページ(Waeda Univ. )
International Workshopのホームページ(NCTS)
・研究集会
「部分多様体幾何とリー群作用2020」
日時：2021年3月19日-20日
場所：Zoom（オンライン開催）
本研究集会は以下の助成を受けて開催されました。
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 18K03311 (研究代表者・小池直之)
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 19K03478 (研究代表者・田中真紀子)
研究集会のホームページ
・ Workshop on the isoparametric theory
において講演をしました。
日時：6月2-7日
場所：Beijing Normal University, China
ホームページ
・ ミニワークショップ
「対称空間の部分多様体の微分幾何と関連する問題」
日本学術振興会 二国間交流事業 韓国 (NRF)
とのセミナーの準備会
において講演をしました。
日時：7月12日-7月15日
場所：東京理科大学神楽坂キャンパス
ホームページ
・ The 22 Workshop on Differential Geometry of
Submanifolds in Symmetric Spaces and The 17th
RIRCM-OCAMI Joint Differential Geometry
において講演をしました。
日時：7月31日-8月5日
場所：Kyungpook National University, Korea
・ Symmetry and Shape
において講演をしました。
日時：10月28日-10月31日
場所：Universidade de Santiago de Compostela, Spain
ホームページ
・ RIMS Symposia ``Qualitative Theory on Nonlinear
Partial Differential Equations''
において講演をしました。
日時：11月27日-11月29日
場所：京都大学数理解析研究所
ホ−ムページ
・部分多様体幾何とリー群作用2019が開催されました。
日時：12月25日〜12月26日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
ホ−ムページ
・ The 18th OCAMI-RIRCM Joint Differential Geometry
Workshop
``Differential Geometry of Submanifolds in
Symmetric Spaces and Related Problems’’
日本学術振興会 二国間交流事業 韓国 (NRF)
とのセミナーの整理会
において講演をしました。
日時：2020年2月18日-2月20日
場所：大阪市立大学
ホームページ
・部分多様体幾何とリー群作用2018が開催されました。
日時：9月3日〜9月4日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
ホームページ
・第64回幾何学シンポジウムにおいて基調講演をしました。
日時：8月28日〜31日
場所：金沢大学
・Geometric flows and related problemsが東京工業大学
で開催されました。
日時：2017年11月23日~25日
場所：東京工業大学(大岡山キャンパス)
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gflow2017.html
・部分多様体論・湯沢2017
(大仁田義裕先生の還暦のお祝い研究集会)
において講演をさせていただきました。
日時：11月30日〜12月2日
場所：湯沢グランドホテル
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/yuzawa/yuzawa2017.html
・RIMS研究集会
「保存則と保存則をもつ偏微分方程式に対する解の正則性，
特異性および長時間挙動の研究」
において講演をしました。
日時：6月6日~8日
場所：京都大学数理解析研究所
・ 20 th International Workshop on Hermitian Symmetric spaces and Submanifolds (and The 12th RIRCM-OCAMI Joint Differential Geometry Workshop on Submanifolds and Lie Theory)
において講演をしました。
日時：7月26-30日
場所：Kyungpook National University, Daegu, Korea
・部分多様体幾何とリー群作用2016が開催されました。
日時：9月1日~2日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/sgla2016.html
・Geometric Analysis in Geometry and Topology 2015
が開催されました。
日時：12月12日~16日
場所：東京理科大学 森戸記念館 (12日〜13日)
東京工業大学 大岡山キャンパス(14日〜16日)
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gagt2016.html
・The First Japan-Taiwan Joint Conference on Differential Geometry (and The 8th TIMS-OCAMI-WASEDA Joint International Workshop on Differential Geometry and Geometric Analysis)
において講演をしました。
日時：12月13-17日
場所：Waseda University
https://sites.google.com/site/jtgeometryconference/get-started
・The 13th OCAMI-RIRCM Joint Differential Geometry Workshop
on Submanifold Geometry and Lie Theoryが大阪市立大学で開催され，講演をしました。
日時：2016年3月27日~30日
場所：大阪市立大学（杉本キャンパス)
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/2016/13thOCAMI-RIRCM2016.html
・第62回幾何学シンポジウムが開催されました。
日時：8月27日~30日
場所：東京理科大学 神楽坂キャンパス(2号館・6号館)
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/Geometry-Symposium-2015.html
・部分多様体幾何とリー群作用2015が開催されました。
日時：9月7日~8日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/sgla2015.html
・Geometric Analysis in Geometry and Topology 2015
が開催されました。
日時：11月9日~12日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gagt2015.html
・Morito One-Day Meeting on Differential Geometry and Integrable Systems が開催されました。
日時：2016年2月18日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/2015/One-DayMeeting20160218.html
研究集会の写真につきましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/dgis2016-photo.html
・Geometric flows and related problemsが東京工業大学
で開催され，講演をしました（講演で使用したPDFファイル）。
日時：2016年3月3日~4日
場所：東京工業大学(大岡山キャンパス)
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gflow.html
・The 11th OCAMI-RIRCM Joint Differential Geometry Workshop on
Submanifolds and Lie Theoryが大阪市立大学で開催され，講演をしました。
日時：2016年3月20日~23日
場所：大阪市立大学（杉本キャンパス)
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/2015/11thOCAMI-RIRCM2015.html
・２014 ICM Satellite Cinference on
Real and Complex Submanifolds
において講演をしました。
日時：8月 10-12日
場所：NIMS, Daejeon, Korea
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。http://www.icm2014.org/en/program/satellite/satellites
・部分多様体幾何とリー群作用2014が開催されました。
日時：9月5-6日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/sgla2014.html
・Geometric Analysis in Geometry and Topology 2014
が開催されました。
日時：10月 28-31日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gagt2014.html
上の写真（2023年5月22日撮影）
外部連携： ORCID KAKEN
小池直之研究室のホームページへようこそ。
小池研究室では、アインシュタインの一般相対性理論とつながりの深い微分幾何学を中心として位相幾何学・幾何解析学を含む幾何学分野全般の内容を研究しています。最初に、微分幾何学では、最近どのような研究が行われているかを説明します。
微分幾何学は、幾何学(微分幾何学，位相幾何学)だけでなく、解析学，代数学，確率論・統計学をはじめとして数学すべての分野と関わりをもっています。また、物理数学とも深い関わりをもっています。
代表として、位相幾何学・解析学との関わりについて説明します。2002年にペレルマンによって
解決された7つのミレニアム問題の1つである3次元ポアンカレ予想(これは位相幾何学(=トポロジー)
の問題)を含むサーストンの幾何化予想が、手術付きリッチ流という幾何解析学の分野の概念を用いて解決されました。手術付きリッチ流とは、与えられたリーマン計量をリッチ流方程式とよばれるある非線形擬放物型偏微分方程式の解として発展させ、有限時間で崩壊が起こる場合は、その寸前で適切な手術を行い、再びリッチ流方程式の解として発展させ、再び有限時間で崩壊が起こる場合は、その寸前で適切な手術を行い、再びリッチ流方程式の解として発展させるという作業を有限回行った後、リッチ流方程式の解として発展させることにより、(有限時間で崩壊せずに)無限時間でgoodなリーマン計量に収束するようなものに辿り着くという一連の作業を意味します。
リッチ流は，私の研究している平均曲率流(これは、ある多様体からより次元の高いリーマン多様体へのはめ込みとよばれる写像を平均曲率流方程式とよばれるある非線形擬放物型偏微分方程式の解として発展させることにより得られるはめ込みの１パラメーター族)と密接な関係があります。なぜならば、リッチ流方程式も平均曲率流方程式も、ベクトルバンドルの切断に関するハミルトンの意味の非線形擬放物型偏微分方程式のクラスに属し，リッチ流と平均曲率流の研究を包括的に扱うことができるからです。手術付きリッチ流の平均曲率流サイドの概念として、手術付き平均曲率流という概念もあり、この流れを用いてある種の超曲面の位相を調べることができます。
リッチ流，平均曲率流以外に代表的な幾何学流としては，Yamabe流，逆平均曲率流，ガウス曲率流等があります。これらの研究は、幾何解析学という分野の研究であり、解析学的手法により幾何学を研究するという研究です。このように、微分幾何学，位相幾何学と解析学は、密接な関わりをもっています。
また、一般に、部分多様体の研究において、位相幾何学におけるモース理論，特異点論，コホモロジー理論(スペクトル系列も登場する)等の概念が、本格的に用いられ、位相幾何学との繋がりも、近年深まっており、現在では、微分幾何学と位相幾何学の分野の区別はなくなってきています。私も、元々は、位相幾何学の分野の葉層構造という概念の研究に興味をもち、大学4年生のゼミでは、葉層構造の研究で著名な先生の研究室に所属し、大学院進学後は、幾何構造をもつ多様体上の葉層構造の研究を行いました。
主に対称空間内の部分多様体論を研究しています。その主な研究方法は以下の通りです。
１． コンパクト型対称空間内の部分多様体の研究
〜対称空間の歪みを解消して得られる無限次元の線形空間内の部分多様体の研究に還元して〜
私たちはコンパクト型対称空間内の部分多様体の研究を、主に、その部分多様体をある無限次元ヒルベルト空間からその対称空間へのリーマンサブマージョン（＝直交射影のようなもの）を通じて無限次元ヒルベルト空間内の部分多様体の研究に還元して行っています。この研究方法はコンパクト型対称空間が歪みがあるのに対し、無限次元ヒルベルト空間が歪みがない、つまり、平坦であり、絶対平行性をもつという面で有効である。
２． 非コンパクト型対称空間内の部分多様体の研究〜複素化およびその複素化された対称空間
の歪みを解消して得られる無限次元の線形空間内の部分多様体の研究に還元して〜
私たちはその部分多様体の研究を、主に、その部分多様体の複素化(これはアンチケーラー対称空間内のアンチケーラー部分多様体として定義されます)をある無限次元アンチケーラー空間からそのアンチケーラー対称空間へのアンチケーラーサブマージョン（＝複素構造を保つ直交射影のようなもの）を通じて無限次元アンチケーラー空間内の部分多様体の研究に還元して行っています。この研究方法は次の２つの面で有効です。
（１） 非コンパクト型対称空間が歪みがあるのに比べ、無限次元アンチケーラー空間が歪みがなく、つまり、平坦であり、絶対平行性をもつという面。
（２） 非コンパクト型対称空間の理想境界の彼方へ消えうせている（その部分多様体の）幾何構造が複素化された空間に現れるという面。
3. 対称空間内の平均曲率流および逆平均曲率流の研究
私たちは、対称空間内の部分多様体を、平均曲率流方程式および逆平均曲率流方程式とよばれる偏微分方程式を満たすように変形して行くとどのように崩壊、あるいは、発散するのかという研究も行っています。また、それらの偏微分方程式を適切に修正して得られる方程式を満たすように変形していくとどのような良い部分多様体に収束するのかという研究も行っています。平均曲率流の研究は、3次元ポアンカレ予想の証明に使われたリッチ流(リーマン計量の変形)の研究と、密接な関係があり、興味深い研究対象です。
4. 手術付き平均曲率流を利用した超曲面のトポロジーの研究
ある種の超曲面に対し、それを初期データとする手術付き平均曲率流を定義し、その超曲面のトポロジーを研究しています。しかし、その超曲面を初期データとする手術付き平均曲率流を定義する作業が非常に難しく、なかなか研究が進んでいないのが現状です。
平均曲率流・逆平均曲率流とは
fを多様体Mからユークリッド空間Eへのはめ込みとする。このとき、その像f(M)はE内の部分多様体を与える。fを発する平均曲率流とは、MからEへのはめ込みの1パラメーター族 ft で、 f0=fであり、fの各点xに対して点 ft(x)が時間tの増加にともなって部分多様体 ft (M)のxにおける平均曲率ベクトル(Ht)x方向にずれていくようなもののことである。また、fを発する逆平均曲率流とは、MからEへのはめ込みの1パラメーター族 ft で、 f0=fであり、fの各点xに対して点 ft(x)が時間tの増加にともなって逆平均曲率ベクトル-(Ht)x/ ((Ht)x・(Ht)x)方向にずれていくようなもののことである。
特に、Mが1次元の場合、ftはE内の正則曲線を表し、Htはftの曲率ベクトルκtntを表す(κt:ftの曲率, nt:ftの主法線ベクトル)。
アインシュタインの一般相対性理論について
一般相対性理論とは、次の3つの原理に基づいて構築された重力場理論です。
（I）光速度不変の原理
無重力の場合、光速度はどの慣性系においても不変であり、重力がある場合は、光速度は
どの局所慣性系においても同じ速さである。ここで、無重力の場合の慣性系とは，外力を
受けていない観測者(これは、平坦な時空上の測地線)を時間軸とする時空のある種の大域
座標系を意味する。重力がある場合の局所慣性系については、下記の(注1)を参照のこと。
（II）一般相対性原理
物理法則は、どの慣性系が観測したデータでも成り立つものでなければならない。
（III）等価原理
ニュートンの万有引力の法則にしたがって定義される重力質量とニュートンの
第２運動法則にしたがって定義される慣性質量は等しくなる。
（注１）局所慣性系とは，次のような座標系を意味します。重力のみの力を受けて自由落下
する観測者は、(重力場がある場合に，曲がった時空として扱われる)平坦でないローレンツ
多様体内の時間的測地線とよばれる曲線として定義され，局所慣性系は、おおよそ、その
時間的測地線γの十分小さな管状近傍上で定義されるある種の局所座標系を意味します。
局所慣性系の構成法を述べておきます。時空Mをその1点pにおいて無限小化してえられる
線形空間(=ベクトル空間)として、接空間T_pMが定義されます。接空間T_pMは、特殊
相対性理論において、無重力の場合の時空として扱われるミンコフスキー空間とみなされ
ます。局所慣性系はγ上の点γ(t)における接空間T_γ(t)MからMへの指数写像とよばれる
写像を利用して構成されます。
一般相対性理論では、時間と空間を切り離して考えるべきではなく、時間(これは1次元)と空間
(3次元)を合わせた4次元時空上で理論が展開されます。この4次元時空は、微分幾何学における
概念である4次元ローレンツ多様体とよばれるものとして定義されます。4次元ローレンツ多様体
とは、いくつかの4次元座標空間(U,Φ=(x,y,z,t))達を貼り合わせて定義される4次元多様体Mと
M上のローレンツ計量gの組(M,g)として定義されます。各座標空間(U,Φ=(x,y,z,t))は観測者と
みなされ、各物理量はM上のテンソル場とよばれる量として定義され、各物理法則はいくつかの
テンソル場間の関係式として与えられます。観測者(U,Φ=(x,y,z,t))が物理量S(これはM上の
テンソル場)を観測したデータとは、テンソル場Sの(U,Φ=(x,y,z,t))に関する成分達S_{i_1...i_k}^{j_1...j_l}を意味します。以下、重要な事実を列記します。
・ローレンツ計量gに対し、そのリッチテンソル場Ricとスカラー曲率Rが定義される。真空の場合、
いわゆるアインシュタインの重力場方程式は、Ric-(R/4)g+Λg=0 (Λ:宇宙定数)で与えられる。
・重力場以外の力を受けずに自由落下する物体の時空(M,g)上での軌道は、(M,g)$上の
速さが負の測地線(時間的測地線)を与える。測地線とは、∇_c'c'=0 (∇:gのレヴィ・チビタ接続)
を満たす曲線であり、左辺の∇_c'c'は、すべての観測者が共有できるcの加速度と解釈されます
ので、∇_c'c'=0は等速運動であることを意味します。
・重力場以外の力を受ける物体の(M,g)上での軌道は、(M,g)上の測地線以外の速さが負の曲線
(時間的曲線)を与える。
・ブラックホールBとは、巨大質量をもつ物体を含む最大領域で光を含めどんな物質も一度
その領域に入るとその領域から抜け出せないようなものである。つまり、Bの時空上での軌跡を
B'とした場合、任意の時間的測地線は一度B'に入るとB'から抜け出せないということになります。
（記載日：2021年2月23日，更新日：2022年3月21日)
・著書１
2022年9月12日に下記の本が出版されました。興味のある方はお読み
ください。
(2023年5月15日に初版第2刷が発行されました。(訂正箇所有))
積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学
- ストークスの定理から変分公式まで - （共立出版）
Vector Analysis & Differential Geometry
Enlightened by Integral Formulas
- From Stokes' Theorem to Variational Formula -
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訂正箇所のファイル ファイル１ ファイル２ ファイル３
・著書２
2021年3月9日に下記の本が出版されました。興味のある方はお読み
ください。
(2022年3月25日に初版第2刷が発行されました。(訂正箇所有))
理論物理に潜む部分多様体幾何
- 一般相対性理論・ゲージ理論との関り - （共立出版）
Submanifold Geometry Hidden in Theoretical Physics
- Connection with General Theory of Relativity and Gauge Theory -
サイトへジャンプ
訂正箇所のファイル ファイル１ ファイル２ ファイル３ ファイル４ ファイル５
ファイル６ ファイル７ ファイル８ ファイル９ ファイル１０
この本は、擬リーマン部分多様体論，リー群作用の軌道幾何，及び，対称空間論に関する
入門書であるとともに、発展的内容も含まれています。また、ゲージ理論と関わりをもつ
無限次元部分多様体についても述べられています。私としては、自信作です。
特に，対称空間論をはじめて学ぶ方には、お勧めです。
1ページ目で、一般相対性理論に関する記述において、誤解を招く記述があったため、
一般相対性理論に興味をもたれている方から、厳しい評価(評価5のうち１)を受けていますが、
数学の研究者の方々からは、高い評価をえています。
(記載日：2021年3月16日、更新日2024年4月9日)
・著書３
2019年4月10日に下記の本が出版されました。興味のある方はお読み
ください。
（2020年5月1日に初版第2刷が発行されました（訂正箇所有））
平均曲率流 - 部分多様体の時間発展 - （共立出版）
Mean curvature flow - Time evolution of submanifolds -
サイトへジャンプ
平均曲率流の動画(お勧めサイト)
・ The mean curvature flow (any closed surface -> convex surface -> microsphere)
・ The Mean curvature flow starting from a random closed curve
・ The Mean curvature flow starting from the Batman symbol closed curve
・ The mean curvature flow starting from a flower closed curve
・ The mean curvature flows starting from a flower closed curve and a circle
・ The mean curvature flow starting from the boundary of a scroll-like domain
・ The mean curvature flow starting (level set method)
・ The backward mean curvature flow starting (level set method)
・ The mean curvature flow starting from a cone
・ The volume-preserving mean curvature flow starting from a petal
・ The volume-preserving mean curvature flow starting from two circles
・ The mean curvature flow starting from dambbel
ポアンカレ予想に関する動画
・ The Poincare conjecure
・在学生の方々へ
（１）2024年度卒業研究について
使用する教科書は、『理論物理に潜む部分多様体幾何』
または、「積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学』
にする予定です。いずれの本をゼミで読むことになる
としても、もう一方の本の内容に関する質問は個別に
受け付けます。いずれの本を読むにしても、2年生で
学んだ曲面論の一般次元版である超曲面論(本質的に
曲面論と同じ)からスタートし，その後、(擬)リーマン
多様体論に入っていきます。微分幾何学を受講してい
ない方も上記のいずれの本でも、ある程度、多様体論
の基礎を独学でき、また、分からないところがあれば、
質問を受け付けますので、ご安心ください。ただし、
希望者が多い場合は、微分幾何学を受講した方を優先
します。
卒研説明会で使用したスライドのファイル
（２）2021年度卒業研究について
使用する教科書は、『平均曲率流』に決定しました。
質問のある方は、メール連絡してください。お答えします。
平均曲率流とはどのようなものであるかを、ユークリッド空間内の曲面を例にとって説明します。一言で述べると、平均曲率流とは、初期データとして選んだユークリッド空間内の曲面S_0を、平均曲率ベクトル場(単位法ベクトル場の平均曲率倍)の方向へ変形していくことによりえられる曲面の族{S_t}_{0≦t<T}のことです。
平均曲率流を用いた興味深い研究方法について一つ紹介します。ある良い性質＊をもつ曲面の存在を示すために、まず、既に存在が保証されているある程度良い性質をもつ曲面をS_0として選びます。次にS_0を発する平均曲率流{S_t}_{0≦t<T}がT=∞まで存在することを示し、さらに、t→∞のときS_tが求めたい良い性質＊をもつ曲面に収束することを示します。その結果、良い性質＊をもつ曲面の存在が示されるという方法です。
このように、平均曲率流(及び、他の類似した曲率流)は、リーマン部分多様体の研究において強力な武器となります。
分野としては、微分幾何学と偏微分方程式論の狭間の分野であり、平均曲率流はポアンカレ予想解決に用いられたリッチ流と密接な関係にあります。
以下も参考にしてください。
７つのミレニアム懸賞問題の一つである3次元ポアンカレ予想が、2002年にペレルマンによって解決されました。その解決に用いられたのがリッチ流方程式とよばれるある種の擬放物型非線形発展方程式の解(この解はリッチ流とよばれるリーマン計量の1パラメーター族)の研究です。このリッチ流方程式の研究は、ペレルマンよりも前にハミルトンにより本格的に行われていました。一方、私の研究している平均曲率流方程式も、リッチ流方程式と同種の擬放物型非線形偏微分方程式であり、この解は平均曲率流とよばれる、ある与えられた多様体Mからある与えられたより次元の高いリーマン多様体(N,g)へのはめ込みの1パラメーター族です。各はめ込みの像は(N,g)内のリーマン部分多様体とよばれる図形を与えており、その1パラメーター族は(N,g)内の図形の1パラメーター族を与えることになります。一つシンプルな例を挙げると、Mが円周で(N,g)が2次元ユークリッド平面の場合、初期図形が楕円の境界線の場合、これを発する平均曲率流は小さくかつまん丸くなりながら1点に崩壊します。平均曲率流の研究を利用して、ある条件を満たす図形の存在性を証明したりすることができます。このテキストの前半部では、リーマン多様体上のベクトルバンンドルおよびそのバンドルの接続理論をベースに調和写像(エネルギー汎関数の臨界点)について学べ、後半部では、放物型調和写像方程式とよばれるある種の放物型非線形偏微分方程式について学ぶことが出来ます。その結果、リッチ流、および、平均曲率流を研究するためのベースをつくることができます。
２）問題のベターな解答法、定理のベターな証明法について
問題のベターな解答法、定理のベターな証明法とは、どのようなものであるか私の意見を書かせていただきます。ある定理において、「長いが突飛な発想を必要としない証明」と「短いが突飛な発想を必要とする証明」があったとして、どちらがベターであるか？ 私としましては、教育的には、前者がベターであると考えております。その証明において背理法が使われているから良くないとか手法的なことはあまり関係ないと思います。背理法的な考えは、普段の生活において無意識に本能で使っているぐらいです。ただし、無駄に背理法を使うことは避けた方がいいと思います。一方、(教育的ということを忘れて)総合的には、２つの証明を比較してどちらの証明が定理の内容の本質を分からせてくれるかということ等比較することにより、どちらの証明がベターであるかどうかを決めるべきであると考えております。
(公開日：2015年10月1日)
（３）研究者になろうと思っている方々へ
これから研究者になろうと思っている方々にアドバイスをします。まずは、論理性をしっかりと身に付け，次に初めて学ことを俊敏に正確に理解する力，さらに未解決の問題等を解決する独創的な力を磨いてほしいと思います。理屈だけでできることはたかが知れています。未解決の問題等を解決するためには、解明したいという情熱が必要です。
(公開日：2018年4月23日)
日本数学会2011年度会（3月）で一般講演（2つ）において使用する予定でありましたＰＤＦファイルをご覧になりたい方は、こことここをクリックしてください。
(更新日：2011年3月29日
お知らせ(2023年4月~2024年3月)
・OCAMI研究集会
「Global Analysis and Geometry 2023」
において講演をしました。
日時：10月19日~21日
場所：大阪公立大学
研究集会のサイト
・研究集会
「部分多様体幾何とリー群作用2023」
が開催されました。
（還暦のお祝いのパーティーを行っていただきました。）
日時：2023年11月20日-21日
場所：東京理科大学神楽坂キャンパス森戸記念館
第一フォーラム
本研究集会は以下の助成を受けて開催されます。
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 22K03300 (研究代表者・小池直之)
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 19K03478 (研究代表者・田中真紀子)
研究集会のサイト 還暦のお祝いのパーティーの写真
・早稲田大学 数物系科学拠点
集中講義：Short course on ``Representations on symmetric spaces
(連続講演者：Ernst Heintze, Augsburg University, Germany）
に関連する発展的な内容に関して、講演をしました。
日時：2023年11月28日
場所：早稲田大学西早稲田キャンパス55N号館第１会議室 集中講義のサイト
・研究集会
「結び目理論，幾何学的リー群論，及び，その応用2023」
が開催されました。
日時：2024年3月13日-14日
場所：東京理科大学神楽坂キャンパス森戸記念館
第一フォーラム
研究集会のサイト
お知らせ(2022年4月~2023年3月)
・RIMS研究集会
「部分多様体論と幾何解析の新展開」
において講演をしました。
日時：6月27日~29日
場所：京都大学数理解析研究所
RIMS共同研究のサイト
研究集会のサイト
・東京理科大学総合研究院
「幾何学と様々な自然現象の解析懇談会」主催の
ワークショップ「データサイエンスと幾何学の物性への応用」 が開催されました。
日時：2023年3月11日
場所：東京理科大学神楽坂キャンパス2号館221教室
詳細につきましては、下記のサイトをご覧ください。
https://www.rs.tus.ac.jp/kurando.baba/workshop/gavnp2022_ja.html
・研究集会
「部分多様体幾何とリー群作用2022」
日時：2023年3月27日-28日
場所：東京理科大学神楽坂キャンパス森戸記念館
第一フォーラム
本研究集会は以下の助成を受けて開催されました。
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 22K03300 (研究代表者・小池直之)
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 19K03478 (研究代表者・田中真紀子)
研究集会のホームページ
お知らせ(2021年4月~2022年3月)
・神楽坂微分幾何学セミナーが開催されました。
(36名の方にご参加してたいただきました。)
開催日時： 5月29日 15:00〜17:10
開催方法： Zoomによるオンライン開催
講演者： 梶ヶ谷 徹 (東京理科大学)
斎藤 俊輔 (東京理科大学)
講演タイトル・講演アブストラクトにつきましては、
下記のサイトをご覧ください。
Kagurazaka-diffgeo-seminar.html (tus.ac.jp)
・神楽坂微分幾何学セミナーが開催されました。
開催日時： 7月24日 15:00〜17:15
開催方法： Zoomによるオンライン開催
講演者：濱中 翔太 (中央大学) 15:00〜16:00
櫻井 陽平 (埼玉大学) 16:15〜17:15
講演タイトル・講演アブストラクトにつきましては、
下記のサイトをご覧ください。
Kagurazaka-diffgeo-seminar.html (tus.ac.jp)
・神楽坂微分幾何学セミナーが開催されました。
開催日時： 8月28日 15:00〜17:15
開催方法： Zoomによるオンライン開催
講演者：藤井 知輝 (東京理科大学) 15:00〜16:00
富久 拓磨 (早稲田大学) 16:15〜17:15
講演タイトル・講演アブストラクトにつきましては、
下記のサイトをご覧ください。
Kagurazaka-diffgeo-seminar.html (tus.ac.jp)
・神楽坂微分幾何学セミナーが開催されました。
開催日時： 10月30日 15:00〜17:15
開催方法： Zoomによるオンライン開催
講演者：高橋 雄也 (名古屋大学) 15:00〜16:00
馬場 蔵人 (東京理科大学) 16:15〜17:15
講演タイトル・講演アブストラクトにつきましては、
下記のサイトをご覧ください。
Kagurazaka-diffgeo-seminar.html (tus.ac.jp)
・東京理科大学総合研究院
「幾何学と様々な自然現象の解析懇談会」主催の
ワークショップ「物性と離散幾何学」 が開催されました。
日時：2022年3月12日 13:00〜17:40
場所：Zoom（オンライン開催）
詳細につきましては、下記のサイトをご覧ください。
https://www.rs.tus.ac.jp/kurando.baba/workshop/gavnp2021_ja.html
・ RIMS Research Project 2021
RIMS Symposium
Differential Geometry and Integrable Systems
The 13th MSJ-SI 2021
Mathematical Society of Japan - Seasonal Institute
におけるInternational Conferenceが開催されました。
Date：March 14 - 19 2022
Place：Osaka City University and Online (Zoom)
詳細につきましては、下記のサイトを御覧ください。
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/2020/MSJ-SI2020_e.html
・研究集会
「部分多様体幾何とリー群作用2021」
日時：2022年3月20日-21日
場所：Zoom（オンライン開催）
本研究集会は以下の助成を受けて開催されました。
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 18K03311 (研究代表者・小池直之)
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 19K03478 (研究代表者・田中真紀子)
研究集会のホームページ
お知らせ(2020年4月~2021年3月)
・山口大学で大学院集中講義（遠隔授業）を行いました。
講義名：数理科学特別講義II：平均曲率流
期間：10月26日〜30日
世話人：中内 伸光教授
（山口大学大学院創成科学研究科・理学系学域・数理科学科教授）
・研究集会
「対称空間の部分多様体とその時間発展」
日時：2021年3月5日-6日
場所：大阪市立大学
本研究集会は以下の助成を受けて開催されました。
大阪市立大学数学研究所（文科省共同利用・
共同研究拠点「数学・理論物理の共働・共創による
新たな国際的研究・教育拠点」）
研究集会のホームページ
大阪市立大学数学研究所共同利用・共同研究拠点のホームページ
・ Japan-Taiwan Joint Research on Geometric Evolution Equations and Related Fields
において講演をしました。
日時：2021年3月8-9日
場所：大阪市立大学 & Zoom
International Workshopのホームページ(Waeda Univ. )
International Workshopのホームページ(NCTS)
・研究集会
「部分多様体幾何とリー群作用2020」
日時：2021年3月19日-20日
場所：Zoom（オンライン開催）
本研究集会は以下の助成を受けて開催されました。
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 18K03311 (研究代表者・小池直之)
科学研究費補助金・基盤研究(C) No. 19K03478 (研究代表者・田中真紀子)
研究集会のホームページ
お知らせ(2019年4月~2020年3月)
・ Workshop on the isoparametric theory
において講演をしました。
日時：6月2-7日
場所：Beijing Normal University, China
ホームページ
・ ミニワークショップ
「対称空間の部分多様体の微分幾何と関連する問題」
日本学術振興会 二国間交流事業 韓国 (NRF)
とのセミナーの準備会
において講演をしました。
日時：7月12日-7月15日
場所：東京理科大学神楽坂キャンパス
ホームページ
・ The 22 Workshop on Differential Geometry of
Submanifolds in Symmetric Spaces and The 17th
RIRCM-OCAMI Joint Differential Geometry
において講演をしました。
日時：7月31日-8月5日
場所：Kyungpook National University, Korea
・ Symmetry and Shape
において講演をしました。
日時：10月28日-10月31日
場所：Universidade de Santiago de Compostela, Spain
ホームページ
・ RIMS Symposia ``Qualitative Theory on Nonlinear
Partial Differential Equations''
において講演をしました。
日時：11月27日-11月29日
場所：京都大学数理解析研究所
ホ−ムページ
・部分多様体幾何とリー群作用2019が開催されました。
日時：12月25日〜12月26日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
ホ−ムページ
・ The 18th OCAMI-RIRCM Joint Differential Geometry
Workshop
``Differential Geometry of Submanifolds in
Symmetric Spaces and Related Problems’’
日本学術振興会 二国間交流事業 韓国 (NRF)
とのセミナーの整理会
において講演をしました。
日時：2020年2月18日-2月20日
場所：大阪市立大学
ホームページ
お知らせ(2018年4月~2019年3月)
・部分多様体幾何とリー群作用2018が開催されました。
日時：9月3日〜9月4日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
ホームページ
お知らせ(2017年4月~2018年3月)
・第64回幾何学シンポジウムにおいて基調講演をしました。
日時：8月28日〜31日
場所：金沢大学
・Geometric flows and related problemsが東京工業大学
で開催されました。
日時：2017年11月23日~25日
場所：東京工業大学(大岡山キャンパス)
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gflow2017.html
・部分多様体論・湯沢2017
(大仁田義裕先生の還暦のお祝い研究集会)
において講演をさせていただきました。
日時：11月30日〜12月2日
場所：湯沢グランドホテル
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/yuzawa/yuzawa2017.html
お知らせ(2016年4月~2017年3月)
・RIMS研究集会
「保存則と保存則をもつ偏微分方程式に対する解の正則性，
特異性および長時間挙動の研究」
において講演をしました。
日時：6月6日~8日
場所：京都大学数理解析研究所
・ 20 th International Workshop on Hermitian Symmetric spaces and Submanifolds (and The 12th RIRCM-OCAMI Joint Differential Geometry Workshop on Submanifolds and Lie Theory)
において講演をしました。
日時：7月26-30日
場所：Kyungpook National University, Daegu, Korea
・部分多様体幾何とリー群作用2016が開催されました。
日時：9月1日~2日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/sgla2016.html
・Geometric Analysis in Geometry and Topology 2015
が開催されました。
日時：12月12日~16日
場所：東京理科大学 森戸記念館 (12日〜13日)
東京工業大学 大岡山キャンパス(14日〜16日)
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gagt2016.html
・The First Japan-Taiwan Joint Conference on Differential Geometry (and The 8th TIMS-OCAMI-WASEDA Joint International Workshop on Differential Geometry and Geometric Analysis)
において講演をしました。
日時：12月13-17日
場所：Waseda University
https://sites.google.com/site/jtgeometryconference/get-started
・The 13th OCAMI-RIRCM Joint Differential Geometry Workshop
on Submanifold Geometry and Lie Theoryが大阪市立大学で開催され，講演をしました。
日時：2016年3月27日~30日
場所：大阪市立大学（杉本キャンパス)
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/2016/13thOCAMI-RIRCM2016.html
お知らせ(2015年4月~2016年3月)
・第62回幾何学シンポジウムが開催されました。
日時：8月27日~30日
場所：東京理科大学 神楽坂キャンパス(2号館・6号館)
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/Geometry-Symposium-2015.html
・部分多様体幾何とリー群作用2015が開催されました。
日時：9月7日~8日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/sgla2015.html
・Geometric Analysis in Geometry and Topology 2015
が開催されました。
日時：11月9日~12日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gagt2015.html
・Morito One-Day Meeting on Differential Geometry and Integrable Systems が開催されました。
日時：2016年2月18日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/2015/One-DayMeeting20160218.html
研究集会の写真につきましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/dgis2016-photo.html
・Geometric flows and related problemsが東京工業大学
で開催され，講演をしました（講演で使用したPDFファイル）。
日時：2016年3月3日~4日
場所：東京工業大学(大岡山キャンパス)
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gflow.html
・The 11th OCAMI-RIRCM Joint Differential Geometry Workshop on
Submanifolds and Lie Theoryが大阪市立大学で開催され，講演をしました。
日時：2016年3月20日~23日
場所：大阪市立大学（杉本キャンパス)
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/2015/11thOCAMI-RIRCM2015.html
お知らせ(2014年度)
・２014 ICM Satellite Cinference on
Real and Complex Submanifolds
において講演をしました。
日時：8月 10-12日
場所：NIMS, Daejeon, Korea
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。http://www.icm2014.org/en/program/satellite/satellites
・部分多様体幾何とリー群作用2014が開催されました。
日時：9月5-6日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/sgla2014.html
・Geometric Analysis in Geometry and Topology 2014
が開催されました。
日時：10月 28-31日
場所：東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gagt2014.html