小池直之研究室


(Naoyuki Koike Laboratory)



研究分野


微分幾何学・幾何解析学

小池直之研究室のホームページへようこそ。

小池研究室ではアインシュタインの一般相対性理論とつながりの深い微分幾何学を研究しています。
最初に、微分幾何学では、最近どのような研究が行われているかを説明します。
微分幾何学は、幾何学(微分幾何学,位相幾何学)だけでなく、解析学,代数学,確率論・統計学をはじめとして数学すべての分野と関わりをもっています。また、物理数学とも深い関わりをもっています。
代表として、解析学との関わりについて説明します。2002年にペレルマンによって解決された7つのミレニアム問題の1つである3次元ポアンカレ予想(これは位相幾何学(=トポロジー)の問題)が、リッチ流(これは与えられたリーマン計量をリッチ流方程式とよばれるある非線形擬放物型偏微分方程式の解として発展させることにより得られるリーマン計量の1パラメーター族)という微分幾何学の分野の概念を用いて解決されました。リッチ流は,私の研究している平均曲率流(これは、ある多様体からより次元の高いリーマン多様体へのはめ込みとよばれる写像を平均曲率流方程式とよばれるある非線形擬放物型偏微分方程式の解として発展させることにより得られるはめ込みの1パラメーター族)と密接な関係があります。なぜならば、リッチ流方程式も平均曲率流方程式も、ベクトルバンドルの切断に関するハミルトンの意味の非線形擬放物型偏微分方程式のクラスに属し,リッチ流と平均曲率流の研究を包括的に扱うことができるからです。リッチ流,平均曲率流以外に代表的な幾何学流としては,Yamabe流,逆平均曲率流,ガウス曲率流等があります。これらの研究は、幾何解析学という分野の研究であり、解析学的手法により幾何学を研究するという研究です。このように、幾何学と解析学は、密接な関わりをもっています。

主に対称空間内の部分多様体論を研究しています。その主な研究方法は以下の通りです。
1. コンパクト型対称空間内の部分多様体の研究
 〜対称空間の歪みを解消して得られる無限次元の線形空間内の部分多様体の研究に還元して〜

私たちはコンパクト型対称空間内の部分多様体の研究を、主に、その部分多様体をある無限次元ヒルベルト空間からその対称空間へのリーマンサブマージョン(=直交射影のようなもの)を通じて無限次元ヒルベルト空間内の部分多様体の研究に還元して行っています。この研究方法はコンパクト型対称空間が歪みがあるのに対し、無限次元ヒルベルト空間が歪みがない、つまり、平坦であり、絶対平行性をもつという面で有効である。
2. 非コンパクト型対称空間内の部分多様体の研究〜複素化およびその複素化された対称空間
  の歪みを解消して得られる無限次元の線形空間内の部分多様体の研究に還元して〜

私たちはその部分多様体の研究を、主に、その部分多様体の複素化(これはアンチケーラー対称空間内のアンチケーラー部分多様体として定義されます)をある無限次元アンチケーラー空間からそのアンチケーラー対称空間へのアンチケーラーサブマージョン(=複素構造を保つ直交射影のようなもの)を通じて無限次元アンチケーラー空間内の部分多様体の研究に還元して行っています。この研究方法は次の2つの面で有効です。
(1) 非コンパクト型対称空間が歪みがあるのに比べ、無限次元アンチケーラー空間が歪みがなく、つまり、平坦であり、絶対平行性をもつという面。
(2) 非コンパクト型対称空間の理想境界の彼方へ消えうせている(その部分多様体の)幾何構造が複素化された空間に現れるという面。 
3.  対称空間内の平均曲率流および逆平均曲率流の研究
私たちは、対称空間内の部分多様体を、平均曲率流方程式および逆平均曲率流方程式とよばれる偏微分方程式を満たすように変形して行くとどのように崩壊、あるいは、発散するのかという研究も行っています。また、それらの偏微分方程式を適切に修正して得られる方程式を満たすように変形していくとどのような良い部分多様体に収束するのかという研究も行っています。平均曲率流の研究は、3次元ポアンカレ予想の証明に使われたリッチ流(リーマン計量の変形)の研究と、密接な関係があり、興味深い研究対象です。

fを多様体Mからユークリッド空間Eへのはめ込みとする。このとき、その像f(M)はE内の部分多様体を与える。fを発する平均曲率流とは、MからEへのはめ込みの1パラメーター族 ft で、 f0=fであり、fの各点xに対して点 ft(x)が時間tの増加にともなって部分多様体 ft (M)のxにおける平均曲率ベクトル(Ht)x方向にずれていくようなもののことである。また、fを発する逆平均曲率流とは、MからEへのはめ込みの1パラメーター族 ft で、 f0=fであり、fの各点xに対して点 ft(x)が時間tの増加にともなって逆平均曲率ベクトル-(Ht)x/ ((Ht)x・(Ht)x)方向にずれていくようなもののことである。
特に、Mが1次元の場合、ftはE内の正則曲線を表し、Htはftの曲率ベクトルκtntを表す(κt:ftの曲率, nt:ftの主法線ベクトル)。

平均曲率流の動画(お勧めサイト)

 ・ The mean curvature flow (any closed surface -> convex surface -> microsphere)
 ・ The Mean curvature flow starting from a random closed curve
 ・ The Mean curvature flow starting from the Batman symbol closed curve
 ・ The mean curvature flow starting from a flower closed curve
 ・ The mean curvature flows starting from a flower closed curve and a circle
 ・ The mean curvature flow starting from the boundary of a scroll-like domain
 ・ The mean curvature flow starting (level set method)
 ・ The backward mean curvature flow starting (level set method)
 ・ The mean curvature flow starting from a cone
 ・ The volume-preserving mean curvature flow starting from a petal
 ・ The volume-preserving mean curvature flow starting from two circles
 ・ The mean curvature flow starting from dambbel

ポアンカレ予想に関する動画
 ・ The Poincare conjecure


Kyungpook National University(韓国)(12月18〜20日)における集中講義で用いたPDFファイルをご覧になりたい方は、
Lecture 1 : ここをクリックしてください。

Lecture 2 : ここをクリックしてください。
Lecture 3 : ここをクリックしてください。
Lecture 4 : ここをクリックしてください。
Lecture 5 : ここをクリックしてください。
(公開日:2014年1月24日)


在学生の方々へ

(1)卒業研究について
卒研説明会で使用したファイルをご覧になりたい方はここをクリックしてください。
(更新日:2016年1月30日)

・使用する教科書:幾何学的変分問題・西川青季著・岩波書店
・7つのミレニアム懸賞問題の一つである3次元ポアンカレ予想が、2002年にペレルマンによって解決されました。その解決に用いられたのがリッチ流方程式とよばれるある種の擬放物型非線形発展方程式の解(この解はリッチ流とよばれるリーマン計量の1パラメーター族)の研究です。このリッチ流方程式の研究は、ペレルマンよりも前にハミルトンにより本格的に行われていました。一方、私の研究している平均曲率流方程式も、リッチ流方程式と同種の擬放物型非線形偏微分方程式であり、この解は平均曲率流とよばれる、ある与えられた多様体Mからある与えられたより次元の高いリーマン多様体(N,g)へのはめ込みの1パラメーター族です。各はめ込みの像は(N,g)内のリーマン部分多様体とよばれる図形を与えており、その1パラメーター族は(N,g)内の図形の1パラメーター族を与えることになります。一つシンプルな例を挙げると、Mが円周で(N,g)が2次元ユークリッド平面の場合、初期図形が楕円の境界線の場合、これを発する平均曲率流は小さくかつまん丸くなりながら1点に崩壊します。平均曲率流の研究を利用して、ある条件を満たす図形の存在性を証明したりすることができます。このテキストの前半部では、リーマン多様体上のベクトルバンンドルおよびそのバンドルの接続理論をベースに調和写像(エネルギー汎関数の臨界点)について学べ、後半部では、放物型調和写像方程式とよばれるある種の放物型非線形偏微分方程式について学ぶことが出来ます。その結果、リッチ流、および、平均曲率流を研究するためのベースをつくることができます。
・ゼミは、次のように進めていきます。毎週一人の方に発表をしてもらいます。発表者は自分で解決できた範囲内で原稿を作成した上、火曜日に私と1時間程度の基本的な打ち合わせをします。
教員志望の方も、3年間で興味をもった分野の純粋数学系の卒業研究のゼミ等で個別指導を受け、実質的な数学力を身に付けた上、卒業後、生徒に本質的に理解させることが上手な教員になっていただきたいと思います。(更新日:2016年4月18日)

(2)問題のベターな解答法、定理のベターな証明法について
問題のベターな解答法、定理のベターな証明法とは、どのようなものであるか私の意見を書かせていただきます。ある定理において、「長いが突飛な発想を必要としない証明」と「短いが突飛な発想を必要とする証明」があったとして、どちらがベターであるか? 私としましては、教育的には、前者がベターであると考えております。その証明において背理法が使われているから良くないとか手法的なことはあまり関係ないと思います。背理法的な考えは、普段の生活において無意識に本能で使っているぐらいです。ただし、無駄に背理法を使うことは避けた方がいいと思います。ここで、本能という言葉を使わせていただきましたが、私は、研究において、本能を大事にしています。理屈でできることはたかが知れています。
一方、(教育的ということを忘れ)総合的には、2つの証明のうち、どちらの証明が定理の内容の本質を分からせてくれるかということ等を比較することにより、どちらの証明がベターであるかを決めるべきであると考えております。(公開日:2015年10月1日)

日本数学会2011年度会(3月)で一般講演(2つ)において使用する予定でありましたPDFファイルをご覧になりたい方は、ここここをクリックしてください。
(更新日:2011年3月29日)


お知らせ(2016年4月~2017年3月)


・RIMS研究集会
 「保存則と保存則をもつ偏微分方程式に対する解の正則性,
  特異性および長時間挙動の研究」
 において講演をしました。
 日時:6月6日~8日
 場所:京都大学数理解析研究所

・The 20 th International Workshop on Hermitian Symmetric spaces
and Submanifolds (and The 12th RIRCM-OCAMI Joint Differential
Geometry Workshop on Submanifolds and Lie Theory)
 において講演をしました。
  日時:7月26-30日
  場所:Kyungpook National University, Daegu, Korea

・部分多様体幾何とリー群作用2016が開催されました。
 日時:9月1日~2日
 場所:東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください

http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/sgla2016.html

・Geometric Analysis in Geometry and Topology 2015
が開催されます。
  日時:12月12日~16日
  場所:東京理科大学 森戸記念館 (12日〜13日) 
      東京工業大学 大岡山キャンパス(14日〜16日)

http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gagt2016.html


お知らせ(2015年4月~2016年3月)


・第62回幾何学シンポジウムが開催されました。
 日時:8月27日~30日
 場所:東京理科大学 神楽坂キャンパス(2号館・6号館)
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください

http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/Geometry-Symposium-2015.html


・部分多様体幾何とリー群作用2015が開催されました。
 日時:9月7日~8日
 場所:東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください

http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/sgla2015.html

・Geometric Analysis in Geometry and Topology 2015
が開催されました。
  日時:11月9日~12日
  場所:東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gagt2015.html

・Morito One-Day Meeting on Differential Geometry and Integrable  Systems が開催されました。
  日時:2016年2月18日
  場所:東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/2015/One-DayMeeting20160218.html
研究集会の写真につきましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/dgis2016-photo.html

・Geometric flows and related problemsが東京工業大学
で開催され,講演をしました(講演で使用したPDFファイル)。
  日時:2016年3月3日~4日
  場所:東京工業大学(大岡山キャンパス)
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gflow.html

・The 11th OCAMI-RIRCM Joint Differential Geometry Workshop on
Submanifolds and Lie Theoryが大阪市立大学で開催され,講演をしました。
  日時:2016年3月20日~23日
  場所:大阪市立大学(杉本キャンパス)
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/2015/11thOCAMI-RIRCM2015.html


 

お知らせ(2014年度)


・2014 ICM Satellite Cinference on
 Real and Complex Submanifolds
 において講演をしました。
  日時:8月 10-12日
  場所:NIMS, Daejeon, Korea
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.icm2014.org/en/program/satellite/satellites

・部分多様体幾何とリー群作用2014が開催されました。
 日時:9月5-6日
 場所:東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しまして下記のサイトをご覧ください

http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/sgla2014.html

・Geometric Analysis in Geometry and Topology 2014
 が開催されました。
  日時:10月 28-31日
  場所:東京理科大学 森戸記念館
詳細に関しましては、下記のサイトをご覧ください。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/gagt2014.html